Le "Papillon de Rio"

Dans un post tout récent (par plus tard que tout à l’heure en fait), nous avons évoqué la métaphore de ce fameux « papillon de Rio » dont le battement d’aile pourrait à terme provoquer une tornade en Australie ou aux Caraïbes selon les goûts touristiques ou les connaissances géographiques de celui qui la prononce.

Dès qu’on parle de « papillon », il faut reconnaître qu’il y a une connotation poétique, bien supérieure à celle de « tractopelle », qui favorise la mémorisation faute de mettre l’accent sur l’exactitude.

Cette fameuse métaphore illustre en fait le caractère imprévisible des phénomènes complexes qu’on appelle « chaotiques ».

Il faut donc revenir sur ce qu’on appelle un « phénomène chaotique ». En fait, ce n’est pas une grosse pagaille, mais un phénomène parfaitement déterministe apériodique. Ceci signifie qu’on peut parfaitement expliquer le déroulement du phénomène mais qu’il ne répète jamais. Donc pour le prédire, il faut effectuer le calcul de l’origine à la date de la prévision voulue. Implicitement cela signifie également, et c’est là toute la difficulté, que la précision la plus totale est indispensable car le moindre écart revient à décrire le phénomène à un tout autre moment qui peut être dans 10 s, 10 ans ou 10 ères géologiques. C’est ce qu’on appelle la « sensibilité aux conditions initiales ».

Un exemple classique de ce type de phénomène est le mouvement d’un pendule. Le mouvement d’un pendule simple, petite boule unique accrochée à son unique ficelle fixée à son unique clou, est parfaitement prévisible car périodique et, n’hésitons pas à le dire, franchement monotone, même en prenant en compte le frottement de l’air. Imaginez qu’à la boule de ce pendule, on accroche un autre pendule, eh bien non, vous ne pouvez imaginer à quel point les choses se gâtent. Pourtant, si vous savez écrire l’équation du pendule simple, vous saurez écrire celle du pendule « articulé », mais vous avez basculé dans le monde du « chaos ».

Mais ce n’est pas pour autant le n’importe quoi. Car si on dessine le mouvement sur un graphique, on pourra retenir comme coordonnées les variables les plus significatives, ici par exemple les deux angles que font les deux pendules par rapport au temps. Ce graphique représente ce qu’on appele l’ « espace des phases » ou degrés de liberté. Et la courbe fera une infinités de boucles qui se couperont, se recouperont, sans jamais se chevaucher mais qui finiront par dessiner une frontière floue qui ne sera, a priori, jamais dépassée, qu’on appelle « attracteur étrange » (voir un exemple sur Wikipedia). Le chaos est décidément très poétique. Mais il ne dépasse jamais certaines limites.

Donc le battement d’ailes d’un papillon à Rio peut avoir des conséquences imprévisibles mais il y a fort à parier que l’attracteur étrange de son incidence climatique dépassera difficilement Sao Paulo.

Nous parlions du « Papillon de Rio » dans la cas du calcul de la VaR (value-at-risk) d’un portefeuille. C’était parfaitement approprié. La valorisation d’un portefeuille peut elle aussi varier dans un périmètre qui n’est rien d’autre que son « attracteur étrange » qu’on peut modéliser et donc contre lequel on peut se prémunir avec plus ou moins de sagesse.

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